리만가설 증명 연구와 리만제타함수

리만 가설 증명 연구와 리만제타함수

리만 가설은 100년이 넘는동안 수많은 수학자들의 도전이 있었습니다.

그러나 아직도 리만 가설은 증명되지 않았고 수많은 루머와 화제를 양산하고 있습니다. 그리고 많은 사람들이 궁금해하는 리만가설에 대한 정보를 수집하여 정리하고자 합니다.

리만가설 증명 연구와 리만 제타 함수 팁 관련해서 포스팅 시작합니다.

목차
1. 리만 가설이란?  
2. 리만가설 도전자
3. 리만 가설은 독이 든 성배인가
4. 기하서
5. 리만가설 난제에 도전한 수학자들 

리만가설 증명 연구와 리만제타함수

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1. 리만 가설이란?

리만 가설이라고 아십니까? 리만가설의 최초 출발은 1859년에 시작되었습니다. 리만 가설은 리만이라는 사람의 8쪽짜리 논문으로부터 시작합니다. 단지 8쪽짜리 논문에 불과하기 때문에 내용은 대단히 압축적이었고, 논문에 실린 몇 가지 가설 가운데 하나가 리만 가설이었습니다. 

 

리만 제타 함수는 0점을 가집니다. 나머지 0점은 실수부가 0과 1의 폐구간에 놓이는 띠모양의 영역 안에 들어있습니다. 그리고 이는 실직선에 대해 대칭성을 이루고 있습니다. 이 논문에서 리만은 실수부가 0과 1 사이 폐구간에 놓이는 0점이 무수히 존재한다고 보았으며, 0점을 나타내는 공식을 제시했습니다.

 

 

 

그러나 리만이 제시한 리만가설의 출발은 리만 제타 함수를 도입하여 어떤 가정을 하면 소수 정리를 증명할 수 있다는 것을 알았습니다. 그러나 논문을 발표하면서 이 가설이 성립할 경우의 수가 매우 크다고 보았지만, 실제로 증명하지는 못했습니다.

 

리만 가설은 리만 제타 함수를 통해 가우스의 소수 정리보다 정확하게 소수의 개수를 알 수 있었지만 여전히 오차가 존재합니다. 이 오차를 수정해가는 과정이 바로 이 제타 함수의 무한히 반복되는 영점들입니다. 리만 가설에 의하면 그러한 오차를 보정하려면 복소평면 위에서 그 영점들이 모두 1/2축 위에 존재해야 합니다.

 

이 영점들 하나하나가 파동처럼 작용하고 파동이 합쳐지면서 오차는 점점 줄어들게 됩니다. 그러면서 오차는 0에 가까워지게 됩니다. 이러한 리만 가설이 발표되고 이후 수많은 천재들이 증명하고자 도전했지만 아직까지는 성공하지 못했습니다.

리만 가설은 내로라하는 수학 천재들이 한 번쯤 고민하고 도전했지만 아직까지는 문제 해결이 요원해 보입니다. 만약 이 문제를 해결할 경우 그 당사자는 불멸의 수학천재라는 위명을 얻게 될 것입니다. 그리고 이에 더하여 엄청난 상금이 걸려있습니다. 

리만 가설은 21세기 수학계에 기여함과 동시에 뒤흔들 수 있는 7가지 문제 가운데 하나입니다. 여기서 7문제 준 하나의 상금이 100만 달러에 이릅니다.

리만가설의 요지는 소수에 있습니다. 소수가 디지털 암호 체계의 베이스인 것은 대부분 아실 겁니다. 그런데 리만 가설이 증명되어 소수의 성질이 밝혀진다면 디지털 암호체계가 위협을 받을 수도 있다는 가정입니다. 그렇기 때문에 리만 가설은 독이 들어있는 성배이면서 판도라의 상자이기도 하다는 비유를 합니다.

이처럼 리만 가설은 수학계에서 최고이자 최대의 난제 가운데 으뜸이라고 합니다. 수학에 꽝인 사람이 대부분인 현실에서 리만가설은 이해하기 어려운 문제입니다. 그러나 리만가설이 풀린다면 교과서적인 기념비가 될 것이고, 문제를 푼 사람은 21세기 수학사에 길이길이 남을 큰 사건으로 인식되고, 이에 대한 어마어마한 상금과 함께 스타가 되겠습니다.

리만가설은 모든 자연수의 S제곱의 합에 의한 함수를 복소수 전체로 확장한 함수의 근이 전부 음수 짝수이거나 실수부가 1/2인 복소수인가의 질문입니다. 마치 외래어 같습니다. 분명 우리말인데 해석불가입니다.

그러나 말입니다. 만약 리만 가설이 증명된다면 무슨 일이 일어날까요? 첫 번째로 컴퓨터 암호체계에 대한 핵폭풍이 불어닥칠 것이란 사실입니다. 이는 기존에 운용되던 컴퓨터의 암호체계가 뚫린다는 의미입니다. 그리고 수많은 논문들이 폐기될 수도 있습니다. 하지만 이러한 영향은 사소하거나 미미한 변화일 뿐일지도 모릅니다.

2. 리만 가설 도전자

1896년 아다마르 푸생

1890년 메르텐스

1903년 그램

1905년 지겔 등이 있습니다. 그 후 수많은 수학자가 도전하였고,

1940년대에서 1950년대의 도전자는 셀 버그, 내쉬 등

이후 봄비 에리, 들 리뉴, 레빈슨, 자기 에르, 몽고메리, 아서 등이 있다.

 

3. 리만 가설은 독이 든 성배?

전 세계의 내로라하는 수학자들이 리만 가설에 도전했다가 좌절하였으며, 리만 가설은 수학자들의 기피대상이 되고 잊혀갔습니다. 이는 소수의 비밀을 밝히는 것이 신에게 도전하거나 분노를 사는 것이 아닌가 하는 원인 모를 두려움에 사로잡히기도 했기 때문입니다. 

그리고 많은 시간이 흘러 1972년 프린스턴대학교의 몽고메리는 불규칙한 소수의 배열과는 다르게 리만 제타 함수의 영점이 완벽하지는 않지만 비교적 균등하게 배열되는 것에 주목하게 됩니다. 

물리학의 대가이면서 소립자 등 미시세계를 연구하던 프리먼 다이슨은 영점의 배열식과 원자핵의 에너지 레벨 간격의 수식이 같다는 것을 발견합니다. 그렇다면 소수와 물리학의 세계는 동일한 구조로 되어있으며, 소수는 대우주를 관통하는 법칙과 밀접한 연관이 있다는 결론에 이르게 됩니다. 이는 우주를 창조하게 된 해답이 될 수 있는 것입니다.

또한 소수는 암호를 만드는 공개열쇠를 만들 수 있는 기본이 됩니다. 이로서 암호 보안 체계를 유지하는 열쇠가 되는 것입니다. 그러나 만약 리만가설이 증명이 되고, 소수의 성질이 밝혀지면 어떻게 될까? 이는 소수의 목록이 공개되면, 암호 체계가 밝혀져서 위험해질 수도 있는 예상을 하기도 합니다.

 

4. 기하서 교수

수학자들 가운데 리만 가설을 해결할 유망주는 대한민국의 기하서 교수를 들수 있습니다. 기하서 교수는 연세대 수학과 교수로 재직하고 있으며 20년 동안 이 문제를 풀기 위해 복소 해석학, 해석적 정수론, 랭글 란드 프로그램이란 수학 무기로 해결하려고 매달려 왔습니다.

이와 같은 방식으로 실제 아주 좋은 성과를 보이고 있는 것도 사실입니다. 그러므로 리만 가설을 알고 관심이 가는 사람이라면, 기하서 교수에게 거는 기대가 아주 크다고 합니다. 많은 사람들이 기하서 교수가 앞으로 불멸의 수학자가 될 확률에 가까운 사람임에 틀림없다고 여기고 있습니다.

 

5. 난제에 도전한 수학자들

최대의 난제로 꼽혔던 페르마의 마지막 정리가 풀렸습니다. 이를 해결한 사람은 1995년 앤드루 와일즈라는 수학자입니다. 

7가지 밀레니엄 최대 문제라고 불렸던 푸엥카레 추측도 2003년 그레고리 페렐만이라는 학자로 인하여 해결되었습니다.  그런데 리만 가설만 이 아직도 의문점을 가지고 있습니다. 

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